Dansende deeltjes (deel 3)

In deze miniserie beschrijven we drie manieren waarop het getal van Avogadro kan worden bepaald. In het eerste deel beschreven we hoe de barometrische hoogteverdeling het Jean Baptiste Perrin mogelijk maakte om de constante van Boltzmann te bepalen, en daaruit het getal van Avogadro via N_\mathrm{A}=R/k_\mathrm{B}. Het tweede deel legt uit hoe de Brownse beweging eveneens de Boltzmannconstante kan worden bepaald en wederom daaruit het getal van Avogadro. Dit zijn echter betrekkelijk indirecte manieren om het getal van Avogadro te bepalen. Nu zullen we naar een directere manier gaan kijken.

Deeltjes die niet dansen

Kristalstructuur van silicium

Bij deze directere manier kijken we niet naar de wanorde van dansende deeltjes, maar juist naar kristallen. In een kristal zijn de atomen (of moleculen) netjes geordend in een steeds terugkerend patroon. Dit noemen we het kristalrooster. De kleinste bouwsteen waaruit we zo’n rooster door puur te stapelen kunnen opbouwen, noemen we de eenheidscel. In het plaatje rechts zie je de eenheidscel van silicium. Het is een kubus met op de hoekpunten, op de middens van de vlakken en in de kubus siliciumatomen.

Effectief zitten er in deze eenheidscel acht silicium atomen. De acht atomen op de hoekpunten worden gedeeld door acht eenheidscellen, de zes op de vlakken door twee eenheidscellen en de vier binnen de eenheidscel horen bij maar één eenheidscel (8\times \frac{1}{8}+6\times\frac{1}{2} +4 = 8).

De lengte van de ribbe van deze kubus heet de celribbe en heeft lengte a. Deze celribbe is (met behulp van röntgendiffractie) heel nauwkeurig en direct te meten. Zo’n eenheidscel heeft ook een volume, namelijk V_\mathrm{cel} = a^3. Als je bedenkt dat er in een eenheidscel acht siliciumatomen zitten, is het volume dat één atoom inneemt dus V_\mathrm{atoom} = \frac{1}{8} V_\mathrm{cel} = \frac{1}{8} a^3.

Het volume dat één mol siliciumatomen inneemt is het volume van één atoom keer het aantal atomen in een mol, oftewel het volume van één atoom keer de constante van Avogadro: V_\mathrm{mol}=N_\mathrm{A} \times V_\mathrm{atoom}. Andersom: het getal van Avogadro is het volume van een mol gedeeld door het volume van één atoom: N_\mathrm{A}=V_\mathrm{mol}/V_\mathrm{atoom} =V_\mathrm{mol}/\frac{1}{8} a^3 = \frac{8 V_\mathrm{mol}}{a^3}. Als we nu het volume van één mol zouden weten en de celribbe a zouden meten, zouden we de constante van Avogadro kunnen berekenen.

Om het volume van één mol silicium te weten moet je het gewicht van een mol kennen en de dichtheid: V_\mathrm{mol} = \frac{m_\mathrm{mol}}{\rho}. Dat lijkt misschien een probleem, maar dat is het niet. De relatieve massa’s van atomen zijn erg nauwkeurig bekend. De massa van een silicium atoom is 28.0855 u. De molaire massa is daardoor per definitie 28.0855 g/mol. Samen met de dichtheid van 2.3290 g/cm3 kom je op V_\mathrm{mol} = 12.059 \textrm{ cm}^3/\textrm{mol} =1.2059\times 10^{-5} \textrm{ m}^3/\mathrm{mol}.

Nu we het molaire volume kennen, hoeven we alleen nog de celribbe te weten. Voor silicum is deze ongeveer 0.543102 nm. Dit brengt ons het getal van Avogadro: N_\mathrm{A} = \frac{8 V_\mathrm{mol}}{a^3} = \frac{8\times 1.2059\times 10^{-5}} {(0.543102 \times 10^{-9})^3} = 6.022 \times 10^{23}\textrm{ mol}^{-1}. De meest nauwkeurige waarde van dit moment is 6.02214179\times 10^{23} \textrm{ mol}^{-1}, waarmee deze schatting heel goed in de buurt komt!

In deze miniserie heb je verschillende constanten voorbij zien komen: het getal van Avogadro, de constante van Boltzmann en de gasconstante. Je vraagt je nu misschien wel af: waar komen al die constanten vandaan? En hoe komt het dat ze nou die ene precieze waarde hebben? Het antwoord op die vraag is in feite heel simpel: die constantes verzinnen we zelf. Meneer Celsius en lord Kelvin hebben ooit een temperatuursschaal bedacht, zonder dat ze wisten wat er precies op de moleculaire schaal gebeurde. Nu weten we dat temperatuur te maken heeft met de (kinetische) energie van moleculen. De Boltzmannconstante is niets meer dan een getal om van het ene naar het andere te gaan. Door onze keuze voor een bepaalde temperatuursschaal, leggen we de Boltzmannconstante vast. En met onze definitie van een mol, leggen we het getal van Avogadro vast. En de gasconstante? Die ligt weer vast doordat laatstgenoemden vastliggen. En zo zijn een heleboel eenheden en constanten met elkaar verbonden.

Dansende deeltjes (deel 2)

In deze miniserie getiteld ‘Dansende deeltjes’ beschrijven we drie manieren waarop het getal van Avogadro is bepaald. In het eerste deel zagen we dat hele kleine stuifmeelkorreltjes in water zich net zo gedragen als de moleculen in de lucht: des te hoger je in zo’n suspensie komt, des te lager de concentratie van de stuifmeelkorreltjes wordt. Hetzelfde gebeurt met de concentraties van stikstof, zuurstof en dergelijke als je hoger in de lucht komt. Uit dit fenomeen kon Jean Baptiste Perrin in 1909 de constante van Boltzmann bepalen, en daarmee het getal van Avogadro: N_\mathrm{A}= R / k_\mathrm{B}. In deze formule is R de gasconstante die wel bekend was.

Brownse beweging

In 1828 zag botanist Robert Brown dat er in de vacuoles (blaasjes gevuld met vloeistof) van stuifmeelkorrels iets zat, dat continu bewoog. Eerst dacht hij dat dit kwam doordat de stuifmeelkorrels op een of andere manier ‘levend’ waren. Echter, ook de stuifmeelkorrels van een plant die meer dan 100 jaar dood was, vertoonden dit vreemde gedrag. Ook niet-organisch materiaal zoals hele kleine glaskorreltjes vertoonde deze merkwaardige beweging. Met leven kon het dus niks te maken hebben. Maar waarmee dan wel? Lees verder Dansende deeltjes (deel 2)

Dansende deeltjes (deel 1)

avogadro_amedeoEen van onze vaste lezeressen vroeg zich af wat een mol is, en waar het getal van Avogadro vandaan komt.

Het is altijd goed om je af te vragen waar kennis vandaan komt. Hoe zijn we dingen, die nu voor ons heel normaal zijn, ooit te weten gekomen? Hoe zou je als 19e eeuwse chemicus kunnen aantonen dat water H2O is en geen HO of H2O2? Waarom weten we dat er twee waterstofatomen in een water molecuul zitten? Hoe weten we eigenlijk hoeveel atomen er in een bepaald volume of bepaalde massa zitten?

De constante van Avogadro heb je nodig als je wilt weten hoeveel moleculen (of atomen) er in m gram stof zitten. Er is afgesproken dat er in exact 12 gram koolstof precies één mol koolstof atomen zitten. Een mol koolstof is dus net zoiets als een dozijn, gros of krat bier. Alleen wéét je dat er in een krat bier 24 flesjes zitten. Maar hoeveel atomen er in een mol zouden zitten, wist men lange tijd niet. Deze hoeveelheid (het aantal atomen in exact 1 mol) zou men later de constante van Avogadro noemen en werd pas bepaald rond 1909. Maar hoe?

In deze mini-serie worden in de eerste twee delen twee manieren beschreven die men in die tijd heeft uitgevoerd en in het laatste deel zal worden uitgelegd hoe dat tegenwoordig gaat. Lees verder Dansende deeltjes (deel 1)