Tag: Silicium

Het probleem met de kilogram

In de natuurwetenschappen worden een heleboel eenheden gebruikt. Vaak worden hiervoor SI-eenheden gebruikt, bijvoorbeeld Watt voor vermogen, Joule voor energie, Coulomb voor lading en Newton voor kracht. Andere voorbeelden zijn de mol voor een hoeveelheid stof, meter voor afstand, seconde voor tijd en natuurlijk de kilogram voor massa. Maar niet al die eenheden zijn ‘fundamentele’ eenheden, het merendeel van de eenheden zijn zogeheten afgeleide eenheden.

Het SI-stelsel kent zeven basiseenheden, de meter, seconde, kilogram, mol, kelvin, ampère en candela. Alle andere eenheden kunnen hiervan worden afgeleid. Een newton is bijvoorbeeld de kracht die nodig is om een object van één kilogram te versnellen met één m/s2, oftewel 1 N = 1 kg m/s2. Een joule is weer de energie die nodig is om met een kracht van 1 N een object 1 m te verplaatsen, dus in feite is 1 J = 1 N m = 1 kg m2/s2. De watt is weer één joule per seconde, dus 1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s3.

Zo zijn er nog veel meer voorbeelden te verzinnen. Allemaal leuk en aardig, maar je zult wel moeten afspreken wát nu precies een meter, seconde en kilogram is. Het handigste is om basiseenheden te definiëren aan de hand van natuurconstanten zoals de lichtsnelheid. Bij de meter en seconde is dit ook gedaan. Eén meter is exact gelijk aan de afstand die licht in 1/299.792.458 deel van een seconde aflegt. Met andere woorden, de lichtsnelheid is per definitie 299.792.458 m/s. De seconde is op haar beurt weer gedefinieerd als de duur van 9.192.631.770 perioden van elektromagnetische straling afkomstig van (een overgang tussen de twee hyperfijne energieniveau’s van de grondtoestand van) een cesium-133 atoom.

Deense replica van dè kilogram

Dit klinkt misschien een beetje ingewikkeld, maar zulke definities hebben een heel groot voordeel: je kunt ze overal en altijd reproduceren en gebruiken. Vroeger was de meter de lengte van een bepaalde platina-iridium staaf die ergens in Frankrijk lag, maar daar had de rest van de wereld natuurlijk weinig aan. De snelheid van het licht is daarentegen overal hetzelfde en ook cesium-133 atomen zijn overal identiek, dus iedereen kan deze definities gebruiken.

Maar dit geldt niet voor de kilogram. De kilogram is nog steeds gedefinieerd als de massa van die ene platina-iridium cilinder uit 1884 (!) in een kluis in Parijs, de IPK (International Prototype Kilogram). Er zijn een aantal replica’s van de IPK, maar dat helpt ook niet echt, vooral niet als blijkt dat de massa’s van deze replica’s en de IPK steeds meer beginnen te verschillen. Er wordt dus al een tijdje gesteggeld over wat nu een goede, reproduceerbare manier is om een kilogram te definiëren.

Er zijn een aantal opties, maar mijn favoriet, als chemicus, is dat we het getal van Avogadro vastzetten (in plaats van experimenteel bepalen). Je maakt gebruik van het feit dat één mol koolstofatomen exact 0,012 kg is, waardoor we atomen kunnen gaan tellen om tot een kilogram te komen.

Natuurlijk ga je niet één voor één atomen tellen. Een praktische uitwerking is bijvoorbeeld dat je een perfecte bol van silicium maakt. De straal van de bol is zeer nauwkeurig te meten, tot op 0,3 nm. Dankzij de halfgeleiderindustrie kan er super zuiver silicium worden gemaakt. Ook de relatieve atoommassa’s van de siliciumisotopen zijn nauwkeurig bekend. Verder heb je de afstand tussen de siliciumatomen in de bol nodig, dit kun je meten met rontgendiffractie. Samen met het volume van de bol (uit de straal) kun je dan het aantal atomen bepalen en dus de massa, zonder een weegschaal te gebruiken. De silicium bal kun je vervolgens als referentie gebruiken.

Het voordeel van zo’n definitie is dat iedereen zijn éigen kilogram kan maken en niet afhankelijk is van een kilogram in Parijs. Gaat het stuk, dan kun je weer een nieuwe maken zonder al te veel narigheid.

Jammer genoeg gaat er veel politiek achter het maken van een afspraak als deze. Het zal dus nog een tijdje duren voordat we een definitie van de kilogram hebben waar zelfs de exactste wetenschapper het mee eens is.

Dansende deeltjes (deel 3)

In deze miniserie beschrijven we drie manieren waarop het getal van Avogadro kan worden bepaald. In het eerste deel beschreven we hoe de barometrische hoogteverdeling het Jean Baptiste Perrin mogelijk maakte om de constante van Boltzmann te bepalen, en daaruit het getal van Avogadro via N_\mathrm{A}=R/k_\mathrm{B}. Het tweede deel legt uit hoe de Brownse beweging eveneens de Boltzmannconstante kan worden bepaald en wederom daaruit het getal van Avogadro. Dit zijn echter betrekkelijk indirecte manieren om het getal van Avogadro te bepalen. Nu zullen we naar een directere manier gaan kijken.

Deeltjes die niet dansen

Kristalstructuur van silicium

Bij deze directere manier kijken we niet naar de wanorde van dansende deeltjes, maar juist naar kristallen. In een kristal zijn de atomen (of moleculen) netjes geordend in een steeds terugkerend patroon. Dit noemen we het kristalrooster. De kleinste bouwsteen waaruit we zo’n rooster door puur te stapelen kunnen opbouwen, noemen we de eenheidscel. In het plaatje rechts zie je de eenheidscel van silicium. Het is een kubus met op de hoekpunten, op de middens van de vlakken en in de kubus siliciumatomen.

Effectief zitten er in deze eenheidscel acht silicium atomen. De acht atomen op de hoekpunten worden gedeeld door acht eenheidscellen, de zes op de vlakken door twee eenheidscellen en de vier binnen de eenheidscel horen bij maar één eenheidscel (8\times \frac{1}{8}+6\times\frac{1}{2} +4 = 8).

De lengte van de ribbe van deze kubus heet de celribbe en heeft lengte a. Deze celribbe is (met behulp van röntgendiffractie) heel nauwkeurig en direct te meten. Zo’n eenheidscel heeft ook een volume, namelijk V_\mathrm{cel} = a^3. Als je bedenkt dat er in een eenheidscel acht siliciumatomen zitten, is het volume dat één atoom inneemt dus V_\mathrm{atoom} = \frac{1}{8} V_\mathrm{cel} = \frac{1}{8} a^3.

Het volume dat één mol siliciumatomen inneemt is het volume van één atoom keer het aantal atomen in een mol, oftewel het volume van één atoom keer de constante van Avogadro: V_\mathrm{mol}=N_\mathrm{A} \times V_\mathrm{atoom}. Andersom: het getal van Avogadro is het volume van een mol gedeeld door het volume van één atoom: N_\mathrm{A}=V_\mathrm{mol}/V_\mathrm{atoom} =V_\mathrm{mol}/\frac{1}{8} a^3 = \frac{8 V_\mathrm{mol}}{a^3}. Als we nu het volume van één mol zouden weten en de celribbe a zouden meten, zouden we de constante van Avogadro kunnen berekenen.

Om het volume van één mol silicium te weten moet je het gewicht van een mol kennen en de dichtheid: V_\mathrm{mol} = \frac{m_\mathrm{mol}}{\rho}. Dat lijkt misschien een probleem, maar dat is het niet. De relatieve massa’s van atomen zijn erg nauwkeurig bekend. De massa van een silicium atoom is 28.0855 u. De molaire massa is daardoor per definitie 28.0855 g/mol. Samen met de dichtheid van 2.3290 g/cm3 kom je op V_\mathrm{mol} = 12.059 \textrm{ cm}^3/\textrm{mol} =1.2059\times 10^{-5} \textrm{ m}^3/\mathrm{mol}.

Nu we het molaire volume kennen, hoeven we alleen nog de celribbe te weten. Voor silicum is deze ongeveer 0.543102 nm. Dit brengt ons het getal van Avogadro: N_\mathrm{A} = \frac{8 V_\mathrm{mol}}{a^3} = \frac{8\times 1.2059\times 10^{-5}} {(0.543102 \times 10^{-9})^3} = 6.022 \times 10^{23}\textrm{ mol}^{-1}. De meest nauwkeurige waarde van dit moment is 6.02214179\times 10^{23} \textrm{ mol}^{-1}, waarmee deze schatting heel goed in de buurt komt!

In deze miniserie heb je verschillende constanten voorbij zien komen: het getal van Avogadro, de constante van Boltzmann en de gasconstante. Je vraagt je nu misschien wel af: waar komen al die constanten vandaan? En hoe komt het dat ze nou die ene precieze waarde hebben? Het antwoord op die vraag is in feite heel simpel: die constantes verzinnen we zelf. Meneer Celsius en lord Kelvin hebben ooit een temperatuursschaal bedacht, zonder dat ze wisten wat er precies op de moleculaire schaal gebeurde. Nu weten we dat temperatuur te maken heeft met de (kinetische) energie van moleculen. De Boltzmannconstante is niets meer dan een getal om van het ene naar het andere te gaan. Door onze keuze voor een bepaalde temperatuursschaal, leggen we de Boltzmannconstante vast. En met onze definitie van een mol, leggen we het getal van Avogadro vast. En de gasconstante? Die ligt weer vast doordat laatstgenoemden vastliggen. En zo zijn een heleboel eenheden en constanten met elkaar verbonden.