Dansende deeltjes (deel 1)

avogadro_amedeoEen van onze vaste lezeressen vroeg zich af wat een mol is, en waar het getal van Avogadro vandaan komt.

Het is altijd goed om je af te vragen waar kennis vandaan komt. Hoe zijn we dingen, die nu voor ons heel normaal zijn, ooit te weten gekomen? Hoe zou je als 19e eeuwse chemicus kunnen aantonen dat water H2O is en geen HO of H2O2? Waarom weten we dat er twee waterstofatomen in een water molecuul zitten? Hoe weten we eigenlijk hoeveel atomen er in een bepaald volume of bepaalde massa zitten?

De constante van Avogadro heb je nodig als je wilt weten hoeveel moleculen (of atomen) er in m gram stof zitten. Er is afgesproken dat er in exact 12 gram koolstof precies één mol koolstof atomen zitten. Een mol koolstof is dus net zoiets als een dozijn, gros of krat bier. Alleen wéét je dat er in een krat bier 24 flesjes zitten. Maar hoeveel atomen er in een mol zouden zitten, wist men lange tijd niet. Deze hoeveelheid (het aantal atomen in exact 1 mol) zou men later de constante van Avogadro noemen en werd pas bepaald rond 1909. Maar hoe?

In deze mini-serie worden in de eerste twee delen twee manieren beschreven die men in die tijd heeft uitgevoerd en in het laatste deel zal worden uitgelegd hoe dat tegenwoordig gaat.

De twee ‘ouderwetse’ methoden hebben één ding gemeen: de constante van Avogadro werd indirect bepaald — namelijk uit de gasconstante R — die wel bekend was. Het getal van Avogadro NA maal de Boltzmannconstante kB is gelijk aan de gasconstante: R = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B}. Waarom? Dat is een heel ander verhaal. De Boltzmannconstante was echter destijds ook onbekend, net als de constante van Avogadro. De truc is dus om de constante van Boltzmann te bepalen, en als bonus weet je gelijk het getal van Avogadro! Dat is precies wat Jean Baptiste Perrin deed in 1909.

Manier 1: Barometrische verdeling

Als je wel eens hoog in de bergen bent geweest, weet je dat de lucht daar ijler is. De luchtdruk neemt af als je verder van het aardoppervlak verwijderd raakt: het aantal deeltjes per volume-eenheid neemt af, en daarmee ook de druk. Vlak op het aardoppervlak gaat er ongeveer 1 mol gas in 25 L. Op 5.5 kilometer hoogte zit er nog maar 0.5 mol gas in 25 L. Dit komt doordat een molecuul in de lucht last heeft van de zwaartekracht. Het kost zwaarte-energie (E_\mathrm{z} = m g h, waarbij m de massa van het molecuul in kg, g de valversnelling van 9.8 \textrm{ m/s}^{2} en de hoogte h in meter is) om een molecuul op een bepaalde hoogte boven de aarde te brengen.

Als het aan de zwaartekracht zou liggen, zouden alle moleculen in de lucht direct neerstorten als een baksteen en niet ook op 10 km hoogte rondzweven. Toch gebeurt dat niet. Dat komt doordat de moleculen in de lucht wild ronddansen. Ze hebben thermische energie: energie als gevolg van de temperatuur. Temperatuur is dus niets anders dan de kinetische energie (en de bijbehorende snelheid) van moleculen. Die thermische energie is ongeveer gelijk aan E_\mathrm{thermisch} \approx k_\mathrm{B} T , oftewel de Boltzmannconstante maal de temperatuur T (in Kelvin).

Waar (gas)moleculen zijn, hangt dus af van twee effecten: de zwaartekracht (die ze naar beneden willen trekken) en hun thermische energie (die ze overal heen laat bewegen). Grof gezegd bepaalt de verhouding tussen thermische energie en zwaarte-energie hoe moleculen zich in de atmosfeer ‘verdelen’. Dit wordt meer precies beschreven door de barometrische hoogteverdeling. De druk p op hoogte h wordt gegeven door een referentiedruk p0 maal een statistische (Boltzmann) verdeling: p(h) = p_0 e^{-m g h / k_\mathrm{B} T}. mgh is weer de zwaarte-energie van het molecuul en kBT is de thermische energie van de moleculen. We kunnen nu dus berekenen wat de druk op een bepaalde hoogte is, ten opzichte van een referentiedruk. Omdat ‘druk’ en ‘aantal deeltjes per volume’ gekoppeld zijn door de ideale gaswet, weten we met een beetje omschrijven ook hoe deze formule eruit ziet voor het aantal deeltjes op een bepaalde hoogte: N(h)=N_0e^{-mgh/k_\mathrm{B}T}

Dit geldt niet alleen voor moleculen, maar ook voor objecten die groter zijn dan dat. Jean Baptiste Perrin nam hele kleine stuifmeelkorreltjes (0.21 µm) en deed deze in water. Door het aantal deeltjes op een verschillende hoogtes te tellen, kon hij de constante van Boltzmann berekenen (hij wist de massa van zijn deeltjes). Hij wist namelijk het aantal deeltjes N op een bepaalde hoogte h, het aantal deeltjes N0 op zijn referentiehoogte, de temperatuur T, de massa van de deeltjes m en de valversnelling g. Samen met de berekende kB en de bekende gasconstante R kwam hij uiteindelijk uit op N_\mathrm{A} \approx 7\cdot 10^{23}\textrm{ mol}^{-1} . De huidige waarde is N_\mathrm{A} = 6.022\,141\,79\cdot 10^{23}\textrm{ mol}^{-1} . Niet slecht, toch?

Geef een reactie



Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Verplichte velden zijn gemarkeerd met *