Dansende deeltjes (deel 2)

In deze miniserie getiteld ‘Dansende deeltjes’ beschrijven we drie manieren waarop het getal van Avogadro is bepaald. In het eerste deel zagen we dat hele kleine stuifmeelkorreltjes in water zich net zo gedragen als de moleculen in de lucht: des te hoger je in zo’n suspensie komt, des te lager de concentratie van de stuifmeelkorreltjes wordt. Hetzelfde gebeurt met de concentraties van stikstof, zuurstof en dergelijke als je hoger in de lucht komt. Uit dit fenomeen kon Jean Baptiste Perrin in 1909 de constante van Boltzmann bepalen, en daarmee het getal van Avogadro: . In deze formule is R de gasconstante die wel bekend was.

Brownse beweging

In 1828 zag botanist Robert Brown dat er in de vacuoles (blaasjes gevuld met vloeistof) van stuifmeelkorrels iets zat, dat continu bewoog. Eerst dacht hij dat dit kwam doordat de stuifmeelkorrels op een of andere manier ‘levend’ waren. Echter, ook de stuifmeelkorrels van een plant die meer dan 100 jaar dood was, vertoonden dit vreemde gedrag. Ook niet-organisch materiaal zoals hele kleine glaskorreltjes vertoonde deze merkwaardige beweging. Met leven kon het dus niks te maken hebben. Maar waarmee dan wel?

Het duurde zeker nog tot 1905 voordat Einstein met een bewijs kwam. De beweging werd veroorzaakt door de moleculen van het oplosmiddel (bijvoorbeeld water) die tegen de deeltjes aanbotsen. Daardoor leggen de deeltjes een zogeheten ‘random walk’ af: ze zetten iedere keer een ‘stap’ in een willekeurige richting, net als een dronken student.

De simpelste random walk is in één dimensie, dus op een rechte lijn. Stel dat we met één deeltje op het punt beginnen, en we verplaatsen het steeds met een even grote stap naar links of rechts. We spreken af dat ‘-1’ een stap naar links is, en ‘+1’ een stap naar rechts. De kans op ‘-1’ of ‘+1’ is even groot. De nieuwe positie wordt , waarbij elk willekeurig +1 of -1 zijn. In onderstaande afbeelding zie je een random walk in 2 dimensies.

Als we een aantal stappen zetten met heel veel deeltjes, verwachten we dat we even vaak naar links en naar rechts stappen. Gemiddeld genomen verplaatsen de deeltjes zich dus niet. We kunnen schrijven: . De haakjes om de x geven aan dat het hier om een gemiddelde gaat. Dat zie je in onderstaand plaatje (1000 deeltjes die zich volgens een random walk verplaatsen, beginnende in de oorsprong): de vlek breidt zich steeds verder uit, maar het middelpunt blijft op zijn plek.

In bovenstaand plaatje zie je duidelijk dat de vlek steeds groter wordt: de random walk van moleculen is de basis voor diffusie! Een maat voor (het kwadraat van) de grootte van de vlek na een bepaald aantal stappen is . Omdat altijd positief is, is dit gemiddelde wél groter dan nul. Voor een random walk als hierboven kan men laten zien dat , of dat . N is hierin het aantal gezette stappen, en b is de stapgrootte (b = 1 in ons geval).

Als je nog steeds wakker bent, zul je je waarschijnlijk inmiddels wel afvragen: “wat heeft dit in hemelsnaam te maken met het getal van Avogadro?” Daar komen we nu. Voor ronde deeltjes in een oplosmiddel geldt een soortgelijke formule: (voor twee dimensies). In plaats van het aantal stappen N hebben we nu de tijd t, en op de plaats van de stapgrootte staat nu de Einstein diffusiecoefficient D. Einstein liet als eerste zien dat . Hierin staat weer de Boltzmannconstante k_B, samen met de absolute temperatuur T. η is de stroperigheid, of liever: de viscositeit van het oplosmiddel. r is de straal van het bolvormige deeltje.

Wat Jean Baptiste Perrin deed, kun je nu waarschijnlijk wel raden. Door van heel veel colloidale deeltjes onder een microscoop de afgelegde route/afstand te meten, kon hij bepalen.

Daaruit berekende hij de diffusiecoefficiënt, en daarmee de Boltzmannconstante k_B. Via de bekende gasconstante rekende hij het getal van Avogadro uit: . Hij kwam uit op . Ook niet slecht. Het is daarom zeker het vermelden waard dat Jean Baptiste Perrin voor zijn werk in 1926 de Nobelprijs heeft gekregen.